חורף 2023 – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2023 – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – חישוב הסכום

3סעיף א (2) – הערך של C

📄 נוסח השאלה

בעבור כל n טבעי מתקיים:

1 · 2 + 4 · 7 + …

+ (3n − 2)(5n − 3)

= n(5n² − 2n − 1)

(1) חשבו את הסכום: 7 · 12 + 10 · 17 + … + 58 · 97.

(2) נתון:

1 · 2 + 4 · 7 + …

+ (3n − 2)(5n − 3)

+ (3n + 1)(5n + 2)

= (n + 1)(5n² + 8n + C)

מצאו את C. נמקו.

סעיף א (1) – חישוב הסכום

1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)

נמצא את המקומות של האיבר הראשון והאחרון בסכום:

3n − 2 = 7 → n = 3

3n − 2 = 58 → n = 20

(ובדיקה: 5 · 3 − 3 = 12, 5 · 20 − 3 = 97.) כלומר זה הסכום עד n = 20 בלי שני האיברים הראשונים:

S₂₀ = 20(5 · 400 − 40 − 1)

📐 הנוסחה הנתונה

S_n = n(5n² − 2n − 1)

סעיף א (1) – חישוב הסכום · המשך

1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)

S₂₀ = 20(5 · 400 − 40 − 1)

📐 הנוסחה הנתונה

= 20 · 1959 = 39180

S₂ = 2(20 − 4 − 1) = 30

(בדיקה: 1 · 2 + 4 · 7 = 30.)

39180 − 30 = 39150

✅ פתרון סופי: 39150

📐 הנוסחה הנתונה

S_n = n(5n² − 2n − 1)

סעיף א (2) – הערך של C

1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)

באגף שמאל יש את הסכום עד n, ועוד האיבר הבא (3n + 1)(5n + 2). זה האיבר במקום n + 1, כי:

3(n + 1) − 2 = 3n + 1

5(n + 1) − 3 = 5n + 2

לכן אגף שמאל הוא הסכום עד n + 1. נציב n + 1 בנוסחה הנתונה:

(n + 1) ·

📐 נוסחת הכפל המקוצר

[5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1]

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

סעיף א (2) – הערך של C · המשך

1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)

[5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1]

= (n + 1) ·

(5n² + 10n + 5 − 2n − 2 − 1)

= (n + 1)(5n² + 8n + 2)

נשווה לאגף ימין הנתון:

C = 2

✅ פתרון סופי: C = 2

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא